【基礎から学ぶ三角関数】 sinθの2乗 ~2の付く位置について

数学
スポンサーリンク

電気電子系の勉強を行う上で、昔学校で習った数学の知識が微妙に必要なことがありますので、せっかくだから少し詳しく学び直し、まとめてみました。
『なんでその定理が成り立つのか』という理由まで調べてみたものもあったりなかったりします。

今回は、「sinθの2乗」についての説明です。

1.sinθの2乗の表記

三角関数の公式でsin2θ+cos2θ=1という関係式を見たことがありませんか?
高校で義務教育を受けていれば教科書に載っていたのではないかと思います。

昔から疑問だったのですが、そもそもsin2θって何を指しているのでしょうね?
sinを2乗しているのか、sinθを2乗しているのか…θを2乗しているわけではないのは確かですけどね。

答えは、sinθを2乗しているようです。

数学の一般的な記法に従うならば、本来は sin2θ=sin(sinθ)のはずなのですが、何故だか三角関数の場合だけsin2θ=(sinθ)2という意味になるようです
不思議ですね。

これに関してはそういうものだと覚えるしかないので、何度も見直して頭にインプットしましょう。

2.sin2θ+cos2θ=1の導き方

三角関数には様々な公式・定理が存在しますが、その中でも有名な公式としてsin2θ+cos2θ=1という関係式があります。
メジャーな公式なので覚えている方は比較的多いかと思いますが、何故そうなるかを考えたことがある方は少ないと思います
なので、ここではこの関係式を導いてみようと思います。

「三角関数と正弦曲線の関係」で単位円の座標について考えていました。
この関係を考えている時、原点から角度θ方向にある単位円上の座標は(cosθ,sinθ)と表せることがわかっています
ということは、原点と点Aを結んだ線を斜辺とした直角三角形を描いた時、各辺は横辺cosθ、縦辺sinθ、斜辺1の関係になります

なので、三平方の定理よりsin2θ+cos2θ=1が成り立つことがわかります。

図1

もしくは、三平方の定理から以下のように逆算することも可能です。

図2

数学は公式を覚えていなくても最悪計算すればわかったりするのがいいですねー。

以上、sinθの2乗についての説明でした。


【基礎から学ぶ三角関数】

◎三角関数の基礎 ~sin・cos・tanとはそもそも何?
◎三角関数と正弦曲線の関係 ~sin波とcos波について
◎sinθの2乗 ~2の付く位置について
◎三角関数と象限 ~角度と符号の関係
◎正弦定理 ~三角形の辺と対角の関係
◎余弦定理 ~三角形の角と各辺の関係
◎加法定理とは? ~sin(α+β)の解法

◎積和の公式 ~sinαcosβなどの解法
◎和積の公式 ~sinα+sinβなどの解法
◎二倍角の公式 ~sin2αなどの解法
◎半角の公式 ~sin(α/2)の2乗などの解法
◎逆三角関数 ~アークサインやアークコサインとは?

タイトルとURLをコピーしました