【基礎から学ぶ三角関数】 二倍角の公式 ~sin2αなどの解法

数学
スポンサーリンク

電気電子系の勉強を行う上で、昔学校で習った数学の知識が微妙に必要なことがありますので、せっかくだから少し詳しく学び直し、まとめてみました。
『なんでその定理が成り立つのか』という理由まで調べてみたものもあったりなかったりします。

今回は、「二倍角の公式」についての説明です。

1.二倍角の公式とは?

三角関数の二倍角の公式とは、sin2αのように角度が二倍になっている場合の公式を指します

公式の名前通りですね。

公式は以下のようになっています。

次項から公式の証明をしていきますが、加法定理を使うだけで簡単に求めることができます。

2.sin2αの証明

まずはsin2αの証明から始めます。

2αを(α+α)とみなして加法定理を適用するだけですけどね。

~加法定理~

sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα

はい、証明終了です。簡単ですね。

3.cos2αの証明

次はcos2αの証明です。

sin2αと同じように計算してみましょう。

cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos2α-sin2α

sin2α+cos2α=1なので、式を変形したsin2α=1-cos2αまたはcos2α=1-sin2αを代入すると、

cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1になります。

4.tan2αの証明

最後にtan2αの証明です。

以上です。

二倍角の公式に関しては複雑そうに見える割には単純です。
最悪求め方さえ覚えておけばすぐに計算が可能なので、覚えておく必要が無い筆頭だったり…。

ちなみに、同じ要領で三倍角・四倍角と求めていくことが可能です。

以上、二倍角の公式についての説明でした。


【基礎から学ぶ三角関数】

◎三角関数の基礎 ~sin・cos・tanとはそもそも何?
◎三角関数と正弦曲線の関係 ~sin波とcos波について
◎sinθの2乗 ~2の付く位置について
◎三角関数と象限 ~角度と符号の関係
◎正弦定理 ~三角形の辺と対角の関係
◎余弦定理 ~三角形の角と各辺の関係
◎加法定理とは? ~sin(α+β)の解法

◎積和の公式 ~sinαcosβなどの解法
◎和積の公式 ~sinα+sinβなどの解法
◎二倍角の公式 ~sin2αなどの解法
◎半角の公式 ~sin(α/2)の2乗などの解法
◎逆三角関数 ~アークサインやアークコサインとは?

タイトルとURLをコピーしました