【基礎から学ぶ三角関数】 加法定理 ~sin(α+β)の解法

数学
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電気電子系の勉強を行う上で、昔学校で習った数学の知識が微妙に必要なことがありますので、せっかくだから少し詳しく学び直し、まとめてみました。
『なんでその定理が成り立つのか』という理由まで調べてみたものもあったりなかったりします。

今回は、「加法定理」についての説明です。

1.加法定理とは?

三角関数には様々な公式・定理が存在します。
この記事では、加法定理について説明していきます。

加法定理は、加法=足し算に関する定理です
『sinα+sinβとかの関係式?』と思うかもしれませんが違います。
sin(α+β)の関係式です。

学校で『sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβだから、右辺がsin・cos・cos・sinの順番で”咲いた コスモス コスモス 咲いた”と覚えよう!』とか習った記憶がありますが、この覚え方だと左辺との関連性が全くないから寧ろ混乱した覚えがあります。
私はcosは左辺と右辺の符号が反転するという点だけ覚えて、順番は”コスモス コスモス コスモス”と覚えたりしていました。
もうコスモスである必要がないですね(笑)

tanは普通に覚えづらいですが、最悪tanθ=sinθ÷cosθの関係から導き出せますので覚える必要性はあまりないです。
一応、”イチマイナスタンタン分のタンプラタン(1-tantan分のtan+tan)”というリズムで覚えるようには習いましたが…。

肝心の加法定理は以下の3式となります。

どうしてこうなるかは次の項から証明していきますね。

2.加法定理の証明 ~cos(α+β)

まずはcos(α+β)の公式の証明からです。
なんでsin(α+β)からじゃないかと言うと、sin(α+β)の公式の証明にcos(α+β)を使うと早いからです
大人の事情というヤツです。

図1のように単位円上の4点をそれぞれ繋いで△OABと△OCDを描きます。

図1

△OABと△OCDは2辺の長さが等しく、その間の角がどちらもα+βになっているので合同(同じ三角形)と言えます
つまり、AB2=CD2になります。

AB2とCD2を座標から計算して照らし合わせてみると、以下のようになります。

これでcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβの公式の証明ができました。

ちなみに、角度がα-βになるような三角形を単位円上の点から作り出して同様に考えていけば、cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβの関係式も証明可能です。
やることは同じなので省きますけど。

3.加法定理の証明 ~sin(α+β)

次はsin(α+β)の公式の証明です。

sin(θ+90°)=cosθcos(θ+90°)=-sinθという公式と、先程照明したcos(α+β)の関係式を利用して導いていきます。
sin(θ+90°)=cosθとcos(θ+90°)=-sinθについては三角関数と象限の関係を説明した際に証明を済ませていますので、気になる方はそちらもご覧ください。

【基礎から学ぶ三角関数】 三角関数と象限 ~角度と符号の関係
電気電子系の勉強を行う上で、昔学校で習った数学の知識が微妙に必要なことがありますので、せっかくだから少し詳しく学び直し、まとめてみました。今回は三角関数と象限についてです。

まず、sinθ=-cos(θ+90°)なので、θにα+βを代入してsin(α+β)=-cos(α+β+90°)にします。
ここで、右辺にcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβの公式を適用すると、

sin(α+β)=-cos(α+(β+90°))=-(cosαcos(β+90°))-sinαsin(β+90°))

となります。

sin(θ+90°)=cosθ、cos(θ+90°)=-sinθなので、

sin(α+β)=-(-cosαsinβ-sinαcosβ)=sinαcosβ+cosαsinβです。

これで証明完了です。

4.加法定理の証明 ~tan(α+β)

最後にtan(α+β)の公式の証明です。

sin(α+β)とcos(α+β)の公式を代入して整理していくだけですけどね。

以上、加法定理についての説明でした。


【基礎から学ぶ三角関数】

◎三角関数の基礎 ~sin・cos・tanとはそもそも何?
◎三角関数と正弦曲線の関係 ~sin波とcos波について
◎sinθの2乗 ~2の付く位置について
◎三角関数と象限 ~角度と符号の関係
◎正弦定理 ~三角形の辺と対角の関係
◎余弦定理 ~三角形の角と各辺の関係
◎加法定理とは? ~sin(α+β)の解法

◎積和の公式 ~sinαcosβなどの解法
◎和積の公式 ~sinα+sinβなどの解法
◎二倍角の公式 ~sin2αなどの解法
◎半角の公式 ~sin(α/2)の2乗などの解法
◎逆三角関数 ~アークサインやアークコサインとは?

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